题目内容
【题目】在正方体中,点
平面
,点
是线段
的中点,若
,则当
的面积取得最小值时,
( )
A.B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
根据分析出点
在直线
上,当
的面积取得最小值时,线段
的长度为点
到直线
的距离,即可求得面积关系.
先证明一个结论P:若平面外的一条直线l在该平面内的射影垂直于面内的直线m,则l⊥m,
即:已知直线l在平面内的射影为直线OA,OA⊥OB,求证:l⊥OB.
证明:直线l在平面内的射影为直线OA,
不妨在直线l上取点P,使得PA⊥OB,OA⊥OB,OA,PA是平面PAO内两条相交直线,
所以OB⊥平面PAO,平面PAO,
所以PO⊥OB,即l⊥OB.以上这就叫做三垂线定理.
如图所示,取的中点
,
正方体中:,
在平面
内的射影为
,
由三垂线定理可得:,
在平面
内的射影为
,
由三垂线定理可得:,
与
是平面
内两条相交直线,
所以平面
,
∴当点在直线
上时,
,
设,则
,
当的面积取最小值时,
线段的长度为点
到直线
的距离,
∴线段长度的最小值为
,
.
故选:D.
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