题目内容
【题目】如图1,在边长为3的菱形中,已知
,且
.将梯形
沿直线
折起,使
平面
,如图2,
分别是
上的点.
(1)若平面平面
,求
的长;
(2)是否存在点,使直线
与平面
所成的角是
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)先平面与平面
有公共点
,得平面
与平面
相交,设交线为
,根据平面
平面
得到
,设
,再得到
,同理的得到
,
根据即可求出结果;
(2) 以点为原点,分别以
,
,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,设
,用
表示出平面的法向量,根据直线
与平面
所成的角是
,即可求出结果.
解:(1)证明:因为平面与平面
有公共点
,
所以平面与平面
相交,设交线为
,若平面
平面
,
因为平面平面
,则
.
设,又因为
,所以
,
同理,由平面平面
,
因为平面平面
,平面
平面
,
所以.
所以.因为
,
,
,所以
,
所以
(2)在图2中,以点为原点,分别以
,
,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,如下图所示.
易得,则
,又
,
,
,
所以,
,
,
设,则
则
设平面的法向量为
,由它与
,
均垂直可得
,
令,可得
,
,
所以.
若存在点,使
与平面
所成的角是
,
则,解得
,因为
,
所以,即

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