题目内容
【题目】如图,四棱锥S一ABCD中,已知AD∥BC,∠ADC=90°,∠BAD=135°,AD=DC= ,SA=SC=SD=2.
(I)求证:AC⊥SD;
(Ⅱ)求二面角A﹣SB﹣C的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明:如图,取AC的中点O,连接OD,
∵AD=DC,∴AC⊥OD,
又∵SA=SC,∴AC⊥OS,
由OD∩OS=O,得AC⊥平面SOD,
∵SD平面SOD,∴AC⊥SD.
(Ⅱ)解:由题意知OA=OC=OD,
∵SA=SC=SD,
∴O是点S在平面ABCD上的射影,
故SO⊥平面ABCD,
连接BO,则∠SBO为直线SB与平面ABCD所成的角,
由题意知∠BAC=90°,∠ACB=45°,
∴△ABC为等腰直角三角形,
且AB=AC=2,∴BO= ,
在Rt△SBO中,SB= =2 ,
∴cos∠SBO= = ,
∴二面角A﹣SB﹣C的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)取AC的中点O,连接OD,由已知得AC⊥平面SOD,由此能证明AC⊥SD.(Ⅱ)由题意知OA=OC=OD,SA=SC=SD,从而SO⊥平面ABCD,连接BO,则∠SBO为直线SB与平面ABCD所成的角,由此能求出二面角A﹣SB﹣C的余弦值.