题目内容
【题目】已知三个点A(2,1)、B(3,2)、D(﹣1,4).
(1)求证: ;
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.
【答案】
(1)证明:A(2,1),B(3,2),D(﹣1,4).
∴ =(1,1),
=(﹣3,3).
又∵ =1×(﹣3)+1×3=0,
∴ .
(2)解:∵ ,若四边形ABCD为矩形,则
.
设C点的坐标为(x,y),则有(1,1)=(x+1,y﹣4),
∴
即
∴点C的坐标为(0,5).
由于 =(﹣2,4),
=(﹣4,2),
∴ =(﹣2)×(﹣4)+4×2=16,
=2
.
设对角线AC与BD的夹角为θ,则cosθ= =
>0.
故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为 .
【解析】(1)运用平面向量的数量积得出 =1×(﹣3)+1×3=0,求解即可.(2)
.
,坐标得出点C的坐标为(0,5).再运用数量积求解得出cosθ=
=
>0.
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