Question

6．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，从一个顶点出发的三条棱长分别为1、1、2，顶点A、B、C、D在半球的底面内，顶点A₁、B₁、C₁、D₁在半球球面上，则此半球的体积是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$π
• B． $\frac{9\sqrt{2}}{2}$π
• C． $\frac{9}{4}$π
• D． $\frac{9\sqrt{2}}{2}$π或$\frac{9π}{4}$

Answer 1

分析 在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD上再叠合一个同样大小的长方体得到一个棱长为1、1、4或1、2、2的长方体，它内接于球，求出球的直径，即可求出半球的体积．

解答 解：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD上再叠合一个同样大小的长方体得到一个棱长为1、1、4或1、2、2的长方体，它内接于球，则球的直径$2R=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{4}^{2}}=3\sqrt{2}，或2R=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}=3，R=\frac{3\sqrt{2}}{2}或\frac{3}{2}$，根据球的体积公式$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$ 得球的体积为$9\sqrt{2}π$或$\frac{9π}{2}$，则半球的体积为$\frac{9\sqrt{2}π}{2}或\frac{9}{4}π$，
故选：D．

点评 试题要求考生把半球与长方体的外接和内切问题转化为球与正方体的接切问题，要求考生能根据条件作出正确的截面，将立体问题转化为平面问题，能正确分析出图形中的基本元素及其相互关系，这些都是立体几何教学的能力要求．