Question

16．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为$\frac{3}{4}$，得到乙公司和丙公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记ξ为该毕业生得到面试的公司个数，若P（ξ=0）=$\frac{1}{16}$
（Ⅰ）求p的值：
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用P（ξ=0）=$\frac{1}{16}$，建立方程，即可求p的值：
（Ⅱ）ξ的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）∵P（ξ=0）=$\frac{1}{16}$，
∴$（1-\frac{3}{4}）（1-p）^{2}$=$\frac{1}{16}$，
∴p=$\frac{1}{2}$．…（6分）
（Ⅱ）ξ的取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{1}{16}$；P（ξ=1）=$\frac{3}{4}×（1-\frac{1}{2}）^{2}$+$（1-\frac{3}{4}）×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$+$（1-\frac{3}{4}）×（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{16}$；
P（ξ=2）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$+$\frac{3}{4}×（1-\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}$+$（1-\frac{3}{4}）×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{7}{16}$；
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{16}$，
ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{7}{16}$	$\frac{3}{16}$

数学期望E（ξ）=0×$\frac{1}{16}$+1×$\frac{5}{16}$+2×$\frac{7}{16}$+3×$\frac{3}{16}$=$\frac{7}{4}$．…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力．