Question

10．设函数$f（x）=|{\frac{1}{x}+a}|+|{x-a}|（{x≠0}）$
（1）若f（1）＞4，求a的取值范围；
（2）证明f（x）≥2．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得a的取值范围．
（2）由条件利用绝对值三角不等式，基本不等式，证得不等式f（x）≥2成立．

解答 解：（1）由题意可得，f（1）=|1+a|+|1-a|＞4，
|1+a|+|1-a|表示数轴上的a对应点到-1、1对应点的距离之和，而2、-2对应点到-1、1对应点的距离之和正好等于4，
故由|1+a|+|1-a|＞4可得a＜-2，或 a＞2．
（2）函数f（x）=|a+$\frac{1}{x}$|+|a-x|≥|（a+$\frac{1}{x}$）-（a-x）|=|$\frac{1}{x}$+x|=|x|+|$\frac{1}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{1}{|x|}}$=2，
当且仅当|x|=$\frac{1}{|x|}$，即x=±1时，取等号，故f（x）≥2．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值三角不等式，基本不等式的应用，属于中档题．