Question

1．比较2ⁿ与2n+1的大小并证明．

Answer 1

分析 当n=1，2时，直接验证可得：2ⁿ＜2n+1．当n≥3时，2ⁿ＞2n+1．利用数学归纳法即可证明．

解答 解：当n=1时，2¹=2，2×1+1=3，∴2¹＜2×1+1．
当n=2时，2²=4，2×2+1=5，∴2²＜2×2+1．
当n=3时，2³=8，2×3+1=7，∴2³＞2×3+1．
当n≥3时，2ⁿ＞2n+1．
下面利用数学归纳法证明：
（1）当n=3时，成立．
（2）假设当n=k≥3（k∈N^*）时，2^k＞2k+1．
则当n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2k+3+2k-1＞2k+3=2（k+1）+1．
∴当n=k+1时，不等式成立．
综上可得：当n≥3时，不等式2ⁿ＞2n+1成立．
故：当n=1，2时，2ⁿ＜2n+1．
当n≥3时，2ⁿ＞2n+1．

点评 本题考查了利用数学归纳法证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．