Question

【题目】如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 平面 ， ， ， ， 是 中点．

（I）求证：直线 平面 ．
（II）求证：直线 平面 ．
（III）在 上是否存在一点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在，确定 的位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：证明：（I）在 上取点 ，使 ，连接 ， ，

因为 ， ，

所以 ，且 ，

因为 ， ，

所以 ，且 ，

所以四边形 为平行四边形，

所以 ，

又 平面 , 平面 ,

所以 平面

（Ⅱ）因为 是 中点，底面 是菱形， ，

所以 ，

因为 ，

所以 ，

所以 ．

又 平面 ，

所以

又

所以直线 平面

（III）由（Ⅱ）可知 ， ， ，相互垂直，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．

则 ， ， ，

假设存在点G满足条件，其坐标为

设平面 的一个法向量为 ，

由 ，得 ，

令 ，则

同理可得平面 的法向量 ，

由题意得

，

解得

所以点 。

所以当点 与点 重合时，二面角 的大小为 ．

因此点 为所求的点。

【解析】(1)根据题意作出辅助线结合已知可得到四边形 M F N A 为平行四边形，即A M ∥ N F。再由线面平行的判定定理可得A M ∥ 平面 P N C。(2)由E是AB的中点底面ABCD是菱形， ∠ D A B = 60 °可得∠ A ED = 9 0 °进而得出 C D ⊥ D E ，再利用线面垂直的判定定理可得结论。(3)根据（2）的结论可知D P ， D E ， D C ，相互垂直，以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，然后利用平面法向量所成角的余弦值即可求得G点的位置。
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和直线与平面垂直的性质，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；垂直于同一个平面的两条直线平行即可以解答此题．