Question

【题目】已知数列{an}满足2an+1=an+an+2+k（n∈N* ， k∈R），且a1=2，a3+a5=﹣4．
（1）若k=0，求数列{an}的前n项和Sn；
（2）若a4=﹣1，求数列{an}的通项公式an ．

Answer 1

【答案】
（1）解：若k=0，则数列{an}满足2an+1=an+an+2（n∈N*，k∈R），

∴数列{an}是等差数列，设公差为d，

∵a1=2，a3+a5=﹣4．

∴2×2+6d=﹣4，解得d= ．由

∴Sn=2n × = ．

（2）2an+1=an+an+2+k（n∈N*，k∈R），a3+a5=﹣4，a4=﹣1，

则2a4=a3+a5+k，

﹣2=﹣4+k，

解得k=2．

数列{an}满足2an+1=an+an+2+2，

当n≥2时，2an=an﹣1+an+1+2，

相减可得：2（an+1﹣an）=（an﹣an﹣1）+（an+2﹣an+1），

令bn=an+1﹣an，

则2bn=bn﹣1+bn+1．

∴数列{bn}是等差数列，公差=b4﹣b3=（a5﹣a4）﹣（a4﹣a3）=﹣2．

首项为b1=a2﹣a1，b2=a3﹣a2，b3=a4﹣a3，

由2b2=b1+b3，可得2（a3﹣a2）=a2﹣2﹣1﹣a3，

解得3（a3﹣a2）=﹣3，b2=a3﹣a2=﹣1．

∴bn=b2+（n﹣2）（﹣2）=﹣2n+3．

∴an+1﹣an=﹣2n+3．

∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1

=[﹣2（n﹣1）+3]+[﹣2（n﹣2）+3]+…+（﹣2+3）+2

= +2

【解析】1、由递推公式可得，数列{an}是等差数列，由的差数列前n项和公式求得。
2、由题意可得数列{bn}是等差数列，由题中给出的递推公式可以求出bn=b2+（n﹣2）（﹣2）=﹣2n+3即an+1﹣an=﹣2n+3，所以an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1an= .
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．