Question

【题目】已知函数f（x）=a（x+lnx）（a＞0），g（x）=x2 ．
（1）若f（x）的图象在x=1处的切线恰好也是g（x）图象的切线．求实数a的值；
（2）对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1 ， x2且x1＜x2 ， 都有f（x2）﹣f（x1）＜g（x2）﹣g（x1）成立．试求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=a（x+lnx）（a＞0）， ，

∴x=1，f'（1）=2a，切点为（1，a），

∴切线方程为y﹣a=2a（x﹣1），即y=2ax﹣a，

又联立 ，消去y，可得x2﹣2ax+a=0，△=4a2﹣4a=0，

∴a=1

（2）解：由条件可知：f（x2）﹣g（x2）＜f（x1）﹣g（x1）（x1＜x2），

设F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=a（x+lnx）﹣x2，

∴F（x）在[1，2]上单调递减，∴ 在[1，2]上恒成立，

即 在[1，2]上恒成立，∵ ，

∴a≤1，又由条件知a＞0，0＜a≤1从而即为所求

【解析】（1）对f（x）进行求导，找到在点（1，a）的切线方程，与g（x）联立，根据只有一个交点，解出a的值，（2）设F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=a（x+lnx）﹣x2，F（x）在[1，2]上单调递减，F ' ( x )0 在[1，2]上恒成立，参变分离后，求出a的取值范围即可.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．