Question

【题目】在锐角三角形ABC中，9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值为 ．

Answer 1

【答案】25
【解析】解：如图，不妨设CD=1，AD=m，BD=n，

∴tanA= ，tanB= ，（m＞0，n＞0），

∴tanC=tan（A+B）= = ，

∵tanC＞0，

∴mn＜1，

∴9tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA= +（ + ） ，

= + ，

≥ + ，

=（ + ）[mn+（1﹣mn）]，

=9+4+ + ，

≥13+2

=13+12=25，当且仅当 = ，即m=n= 时取等号，

故最小值为25，

所以答案是：25 .

【考点精析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用的相关知识点，需要掌握用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”才能正确解答此题．