Question

【题目】已知数列{an}，{bn}满足bn=an+1﹣an（n=1，2，3，…）．
（1）若bn=10﹣n，求a16﹣a5的值；
（2）若 且a1=1，则数列{a2n+1}中第几项最小？请说明理由；
（3）若cn=an+2an+1（n=1，2，3，…），求证：“数列{an}为等差数列”的充分必要条件是“数列{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）”．

Answer 1

【答案】
（1）由bn=10﹣n，可得bn+1﹣bn=（9﹣n）﹣（10﹣n）=﹣1，故{bn}是等差数列．

所以a16﹣a5=（a16﹣a15）+（a15﹣a14）+（a14﹣a13）+…+（a6﹣a5）=

（2）a2n+3﹣a2n+1=（a2n+3﹣a2n+2）+（a2n+2﹣a2n+1）=b2n+2+b2n+1=（22n+2+231﹣2n）﹣（22n+1+232﹣2n）=22n+1﹣231﹣2n

由a2n+3＜a2n+122n+1﹣231﹣2n＜0n＜7.5，a2n+3＞a2n+122n+1﹣231﹣2n＞0n＞7.5，

故有a3＞a5＞a7＞…＞a15＞a17＜a19＜a20＜…，

所以数列{a2n+1}中a17最小，即第8项最小．

法二：由 ，可知a2n+1=a1+b1+b2+b3+…+b2n= = （当且仅当22n+1=233﹣2n，即n=8时取等号）

所以数列{a2n+1}中的第8项最小

（3）若数列{an}为等差数列，设其公差为d，

则cn+1﹣cn=（an+1﹣an）+2（an+2﹣an+1）=d+2d=3d为常数，

所以数列{cn}为等差数列．

由bn=an+1﹣an=d（n=1，2，3，…），可知bn≤bn+1（n=1，2，3，…）．

若数列{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…），设{cn}的公差为D，

则cn+1﹣cn=（an+1﹣an）+2（an+2﹣an+1）=bn+2bn+1=D（n=1，2，3，…），

又bn+1+2bn+2=D，故（bn+1﹣bn）+2（bn+2﹣bn+1）=D﹣D=0，

又bn+1﹣bn≥0，bn+2﹣bn+1≥0，故bn+1﹣bn=bn+2﹣bn+1=0（n=1，2，3，…），所以bn+1=bn（n=1，2，3，…），故有bn=b1，所以an+1﹣an=b1为常数．

故数列{an}为等差数列．

综上可得，“数列{an}为等差数列”的充分必要条件是“数列{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）”

【解析】（1）判断{bn}是等差数列．然后化简a16﹣a5=（a16﹣a15）+（a15﹣a14）+（a14﹣a13）+…+（a6﹣a5）利用等差数列的性质求和即可．（2）利用a2n+3﹣a2n+1=22n+1﹣231﹣2n ， 判断a2n+3＜a2n+1 ， 求出n＜7.5，a2n+3＞a2n+1求出n＞7.5，带带数列{a2n+1}中a17最小，即第8项最小． 法二：化简
，
求出a2n+1=a1+b1+b2+b3+…+b2n= ，利用基本不等式求出最小值得到数列{a2n+1}中的第8项最小．（3）若数列{an}为等差数列，设其公差为d，说明数列{cn}为等差数列． 由bn=an+1﹣an=d（n=1，2，3，…），推出bn≤bn+1 ， 若数列{cn}为等差数列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…），设{cn}的公差为D，转化推出bn+1=bn（n=1，2，3，…），说明数列{an}为等差数列．得到结果．
【考点精析】掌握数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．