题目内容
已知椭圆C:
=1(a>b>0)的离心率为
,F为椭圆的右焦点,M、N两点在椭圆C上,且
=λ
(λ>0),定点A(-4,0).
(1)求证:当λ=1时,
⊥
;
(2)若当λ=1时,有
·
=
,求椭圆C的方程..




(1)求证:当λ=1时,


(2)若当λ=1时,有



(1)见解析(2)
=1

(1)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),F(c,0),则
=(c-x1,-y1),
=(x2-c,y2).当λ=1时,
=
,∴-y1=y2,x1+x2=2c.∵M、N两点在椭圆C上,∴
=a2
,
=a2
,∴
=
.若x1=-x2,则x1+x2=0≠2c(舍去),∴x1=x2,∴
=(0,2y2),
=(c+4,0),∴
·
=0,∴
⊥
.
(2)解:当λ=1时,由(1)知x1=x2=c,
∴M
,N
,∴
=
,
=
,
∴
·
=(c+4)2-
=
.(*)
∵
=
,∴a2=
c2,b2=
,代入(*)式得
c2+8c+16=
,∴c=2或c=-
(舍去).∴a2=6,b2=2,∴椭圆C的方程为
=1
















(2)解:当λ=1时,由(1)知x1=x2=c,
∴M






∴




∵









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