题目内容
【题目】如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AC=AD=3,PA=BC=4.
(1)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1).(2)
.
【解析】
(1)先根据题意建立空间直角坐标系,求得向量和向量
的坐标,再利用线线角的向量方法求解.
(2)先求得平面PBC的一个法向量,易知平面PAD的一个法向量,再利用面面角的向量方法求解.
(1) 设BC的中点为E,由AB=AC,可知AE⊥BC,
故分别以AE,AD,AP所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系
则A(0,0,0),P(0,0,4),D(0,3,0),B(,-2,0),C(
,2,0).
设θ为两直线所成的角,
由=(
,-2,-4),
=(-
,1,0),
得cosθ==
.
(2) 设=(x,y,z)为平面PBC的法向量,
=(
,-2,-4),
=(
,2,-4),
·
=0,
·
=0,
即
取平面PBC的一个法向量=(4,0,
),
平面PAD的一个法向量为=(1,0,0).
设α为两个平面所成的锐二面角的平面角,则cosα==
.
所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.
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