Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣ ．
（1）利用定义证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；
（2）当x∈（0，1）时，tf（2x）≥2x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣ ）﹣（x2﹣ ）= ，

∵0＜x1＜x2，∴1+x1x2＞0，x1x2＞0，x1﹣x2＜0，

∴ ＜0，

即f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数

（2）解：∵t（2x﹣ ）≥2x﹣1，

∴ ≥2x﹣1

∵x∈（0，1]，∴1＜2x≤2，

∴t≥ 恒成立，设g（x）= =1﹣ ，

显然g（x）在 （0，1]上为增函数，

g（x）的最大值为g（1）= ，故t的取值范围是[ ，+∞）

【解析】1、由定义法证明函数的单调性。
2、根据指数函数的单调性可得当x∈（0，1]，∴1＜2x≤2 ,恒成立,设g（x）在 （0，1]上为增函数，g（x）的最大值为g（1）= .t的取值范围是[ ，+∞）
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．