题目内容
【题目】已知函数,
,其中a>1.
(I)求函数的单调区间;
(II)若曲线在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行,证明
;
(III)证明当时,存在直线l,使l是曲线
的切线,也是曲线
的切线.
【答案】(Ⅰ)单调递减区间,单调递增区间为
;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】分析:(I)由题意可得.令
,解得x=0.据此可得函数
的单调递减区间
,单调递增区间为
.
(II)曲线在点
处的切线斜率为
.曲线
在点
处的切线斜率为
.原问题等价于
.两边取对数可得
.
(III)由题意可得两条切线方程分别为l1: .l2:
.则原问题等价于当
时,存在
,
,使得l1和l2重合.转化为当
时,关于x1的方程
存在实数解,构造函数,令
,结合函数的性质可知存在唯一的x0,且x0>0,使得
,据此可证得存在实数t,使得
,则题中的结论成立.
详解:(I)由已知, ,有
.
令,解得x=0.
由a>1,可知当x变化时, ,
的变化情况如下表:
x | 0 | ||
0 | + | ||
极小值 |
所以函数的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(II)由,可得曲线
在点
处的切线斜率为
.
由,可得曲线
在点
处的切线斜率为
.
因为这两条切线平行,故有,即
.
两边取以a为底的对数,得,所以
.
(III)曲线在点
处的切线l1:
.
曲线在点
处的切线l2:
.
要证明当时,存在直线l,使l是曲线
的切线,也是曲线
的切线,
只需证明当时,存在
,
,使得l1和l2重合.
即只需证明当时,方程组
有解,
由①得,代入②,得
. ③
因此,只需证明当时,关于x1的方程③存在实数解.
设函数,
即要证明当时,函数
存在零点.
,可知
时,
;
时,
单调递减,
又,
,
故存在唯一的x0,且x0>0,使得,即
.
由此可得在
上单调递增,在
上单调递减.
在
处取得极大值
.
因为,故
,
所以.
下面证明存在实数t,使得.
由(I)可得,
当时,
有
,
所以存在实数t,使得
因此,当时,存在
,使得
.
所以,当时,存在直线l,使l是曲线
的切线,也是曲线
的切线.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t的(0≤t≤24,单位:小时)函数,记作y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
t(h) | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y(m) | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 0.99 | 1.5 |
经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图象.
(1)根据以上数据,求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8时到晚上20时之间,有多长时间可供冲浪者进行运动?
【题目】某机构为了解某地区中学生在校月消费情况,随机抽取了100名中学生进行调查.右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知[350,450),[450,550),[550,650)三个金额段的学生人数成等差数列,将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群” .
(1)求m,n的值,并求这100名学生月消费金额的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关?
高消费群 | 非高消费群 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 50 | |
合计 |
(参考公式:,其中
)
P( | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |