题目内容
【题目】已知函数f(x)=3x , g(x)=|x+a|﹣3,其中a∈R. (Ⅰ)若函数h(x)=f[g(x)]的图象关于直线x=2对称,求a的值;
(Ⅱ)给出函数y=g[f(x)]的零点个数,并说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)函数h(x)=f[g(x)]=3|x+a|﹣3的图象关于直线x=2对称,则h(4﹣x)=h(x)|x+a|=|4﹣x+a|恒成立a=﹣2;
(Ⅱ)函数y=g[f(x)]=|3x+a|﹣3的零点个数,就是函数G(x)=|3x+a|与y=3的交点,
①当0≤a<3时,G(x)=|3x+a|=3x+a与y=3的交点只有一个,即函数y=g[f(x)]的零点个数为1个(如图1);
②当a≥3时,G(x)=|3x+a|=3x+a与y=3没有交点,即函数y=g[f(x)]的零点个数为0个(如图1);
③﹣3≤a<0时,G(x)=|3x+a|与y=3的交点只有1个(如图2);
④当a<﹣3时,G(x)=|3x+a|与y=3的交点有2个(如图2);
【解析】(Ⅰ)函数h(x)=f[g(x)]=3|x+a|﹣3的图象关于直线x=2对称,则h(4﹣x)=h(x)|x+a|=|4﹣x+a|恒成立a=﹣2;(Ⅱ)函数y=g[f(x)]=|3x+a|﹣3的零点个数,就是函数G(x)=|3x+a|与y=3的交点,
分①当0≤a<3时;②当a≥3时;③﹣3≤a<0时;④当a<﹣3时,画出图象判断个数.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
【题目】春节是旅游消费旺季,某大型商场通过对春节前后20天的调查,得到部分日经济收入Q与这20天中的第x天(x∈N+)的部分数据如表:
天数x(天) | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 |
日经济收入Q(万元) | 154 | 180 | 198 | 208 | 210 | 204 | 190 |
(1)根据表中数据,结合函数图象的性质,从下列函数模型中选取一个最恰当的函数模型描述Q与x的变化关系,只需说明理由,不用证明. ①Q=ax+b,②Q=﹣x2+ax+b,③Q=ax+b,④Q=b+logax.
(2)结合表中的数据,根据你选择的函数模型,求出该函数的解析式,并确定日经济收入最高的是第几天;并求出这个最高值.