题目内容
【题目】如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为VB的中点． 
（1）求证：VD∥平面EAC；
（2）求二面角A﹣VB﹣D的余弦值．
【答案】
（1）证明：由正视图可知：平面VAB⊥平面ABCD
连接BD交AC于O点，连接EO，
由已知得BO=OD，VE=EB
∴VD∥EO
又VD平面EAC，EO平面EAC
∴VD∥平面EAC；
（2）证明：设AB的中点为P，则VP⊥平面ABCD，建立如图所示的坐标系，
则 
=（0，1，0）
设平面VBD的法向量为 
∵ 
∴由 
，可得 
，∴可取 
=（ 
， ，1）
∴二面角A﹣VB﹣D的余弦值cosθ= 
= 
【解析】（1）欲证VD∥平面EAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证VD与平面EAC内一直线平行即可，而连接BD交AC于O点，连接EO，由已知易得VD∥EO，VD平面EAC，EO平面EAC，满足定理条件；（2）设AB的中点为P，则VP⊥平面ABCD，建立坐标系，利用向量的夹角公式，可求二面角A﹣VB﹣D的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能得出正确答案．
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