Question

【题目】某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ） 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx+φ	0		π		2π
x
f（x）=Asin（ωx+φ）	0	5		﹣5	0

（1）请将如表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．
（3）求当 时，函数y=g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据所给的表格可得A=5， = = ﹣ ，∴ω=2，结合五点法作图可得2 +φ= ，∴φ=﹣ ，

∴f（x）=5sin（2x﹣ ）．

根据五点法作图可得表格具体为：

ωx+φ	0		π		2π
x
f（x）	0	5	0	﹣5	0

（2）解：将函数y=f（x）=5sin（2x﹣ ）的图象向左平移 个单位长度，

得到函数y=g（x）=5sin[2（x+ ）﹣ ]=5sin（2x+ ）的图象，

令2x+ =kπ，求得x= ﹣ ，k∈Z，

故y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心为（﹣ ，0）

（3）解：求当 时，2x+ ∈[﹣ ， ]，故当2x+ =﹣ 时，g（x）取得最小值为﹣ ，

当2x+ = 时，g（x）取得最大值为5，故函数y=g（x）的值域为[﹣ ，5]．

【解析】（1）根据用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图的方法，求得A、ω、φ的值，可得函数的解析式，并得到完整的表格．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．（3）利用正弦函数的定义域和值域，求得当 时，函数y=g（x）的值域．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识，掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．