题目内容
己知三棱柱
，
在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
，
，又知
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求点C到平面
的距离；
（Ⅲ）求二面角
余弦值的大小．
，在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，，，又知（Ⅰ）求证：
平面；（Ⅱ）求点C到平面
的距离；（Ⅲ）求二面角
余弦值的大小．解法一
（1）得
，因为
底
，所以
，
，所以
面
，所以
因为，
，所以底
（2）由（1）得
，所以
是菱形，
所以
，
，
由
，得
（3）设
，作
于
，连
，由（1）所以
，
所以
为二面角平面角，
在
中
，所以
，所以二面角余弦
解法二
（1）如图，取
的中点，则
，因为，所以
，又平面，以
为
轴建立空间坐标系，则
，
，
，
，
，
（2）
，
，
，
由
，知
，
又，从而平面；
（2）由
，得
设平面的法向量为
，
，
，所以
，设
，则
所以点
到平面的距离
（3）再设平面的法向量为
，
，，
所以
，设，则
，
故
，根据法向量的方向可知二面角的余弦值大小为
（1）
得，因为底，所以，，所以面，所以因为
，，所以底（2）由（1）得
，所以是菱形， 所以
，， 由
，得（3）设
，作于，连，由（1）所以，所以
为二面角平面角，在
中，所以，所以二面角余弦 解法二
（1）如图，取
的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，，，，， （2）
，，， 由，知， 又
，从而平面；（2）由
，得设平面的法向量为，，，所以，设，则所以点
到平面的距离 （3）再设平面
的法向量为，，， 所以
，设，则， 故
，根据法向量的方向可知二面角的余弦值大小为 略
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B
分别为棱AC、AB上的动点（不包括端点），若
则线段DF长度的取值范围为
B．
C．
D．
中，
，
，
，
，
，
是
的中点，设
．
表示
；
的长．
的三条棱
两两垂直，
,
，
有三个面是直角三角形；
与
垂直并且相等；
在四面体