题目内容
10．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（ ）| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
分析 把x=-c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出$\frac{2c}{\frac{{b}^{2}}{a}}$=$\sqrt{3}$整理得$\sqrt{3}$e2+2e-$\sqrt{3}$=0，进而求得椭圆的离心率e．
解答 解：由题意知点P的坐标为（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）或（-c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∵∠F1PF2=60°，
∴$\frac{2c}{\frac{{b}^{2}}{a}}$=$\sqrt{3}$，
即2ac=$\sqrt{3}$b2=$\sqrt{3}$（a2-c2）．
∴$\sqrt{3}$e2+2e-$\sqrt{3}$=0，
∴e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或e=-$\sqrt{3}$（舍去）．
故选：D．
点评 本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属中档题．
练习册系列答案
全能测控期末小状元系列答案
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已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍，且经过点（$\sqrt{3}$，1）．
18．椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1的一个焦点坐标为（ ）
| A． | （$\sqrt{2}$，0） | B． | （0，$\sqrt{2}$） | C． | （2，0） | D． | （0，2） |
如图，A，B，C是椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC=2AC．
19．在区间（0，2]里任取两个数x、y，分别作为点P的横、纵坐标，则点P到点A（-1，1）的距离小于$\sqrt{2}$的概率为（ ）
| A． | $\frac{4-π}{8}$ | B． | $\frac{π-2}{4}$ | C． | $\frac{4-π}{4}$ | D． | $\frac{π-2}{8}$ |