题目内容
15．已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别是它的左、右焦点，A是椭圆上一点，且$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$$•\overrightarrow{A{F}_{1}}$=0，|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=$\frac{4}{3}$|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|，则椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$．分析 由题意，$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$$•\overrightarrow{A{F}_{1}}$=0，可得$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$⊥$\overrightarrow{A{F}_{1}}$，|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，利用|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=$\frac{4}{3}$|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|，可得2c=$\frac{4}{3}$×$\frac{{b}^{2}}{a}$，即可求出椭圆的离心率．
解答 解：由题意，$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$$•\overrightarrow{A{F}_{1}}$=0，可得$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$⊥$\overrightarrow{A{F}_{1}}$，∴|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=$\frac{4}{3}$|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|，
∴2c=$\frac{4}{3}$×$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴3ac=2（a2-c2），
∴2e2+3e-2=0，
∴e=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$
点评 本题考查椭圆的离心率，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
练习册系列答案
相关题目
10．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，点B在C上，△OBA为等腰直角三角形．
7．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1），那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）
| A． | （$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$） | B． | （$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{2}$） | C． | （$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{2}$） | D． | （$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{2}$） |