题目内容

2.已知数列{an}满足a1=$\frac{1}{2}$,an+1=an+$\frac{1}{n^2}$an2
(Ⅰ)求a2,a3的值;
(Ⅱ)证明:an<n(n∈N*);
(Ⅲ)当n≥3(n∈N*)时,证明:an>$\frac{6n}{5n+6}$.

分析 (I)由a1=$\frac{1}{2}$,an+1=an+$\frac{1}{n^2}$an2,分别取n=1,2,即可得出.
(II)利用数学归纳法与不等式的性质即可证明.
(III)利用数学归纳法证明.(1)当n=3时,直接验证即可.(2)假设当n=k≥3(k∈N*)时,ak$>\frac{6k}{5k+6}$.则当n=k+1时,利用已知及其归纳假设可得ak+1=ak+$\frac{1}{{k}^{2}}{a}_{k}^{2}$>$\frac{6×(5{k}^{2}+6k+6)}{(5k+6)^{2}}$,利用“作差法”只要证明$\frac{6×(5{k}^{2}+6k+6)}{(5k+6)^{2}}$>$\frac{6(k+1)}{5(k+1)+6}$,即可.

解答 (I)解:∵a1=$\frac{1}{2}$,an+1=an+$\frac{1}{n^2}$an2
∴a2=${a}_{1}+{a}_{1}^{2}$=$\frac{3}{4}$,a3=${a}_{2}+\frac{1}{4}{a}_{2}^{2}$=$\frac{57}{64}$.
(II)证明:利用数学归纳法证明.
(1)当n=1时,a1=$\frac{1}{2}$<1成立.
(2)假设当n=k∈N*时,不等式ak<k成立.
则ak+1=ak+$\frac{1}{{k}^{2}}{a}_{k}^{2}$<k+$\frac{1}{{k}^{2}}×{k}^{2}$=k+1,
因此当n=k+1时,不等式ak+1<k+1成立.
综上可得:?n∈N*,an<n.
(III)证明:利用数学归纳法证明.
(1)当n=3时,a3=$\frac{57}{64}$,$\frac{6×3}{5×3+6}$=$\frac{6}{7}$,∵$\frac{57}{64}÷\frac{6}{7}$=$\frac{203}{128}$>1,∴${a}_{3}>\frac{6×3}{5×3+6}$,此时不等式成立.
(2)假设当n=k≥3(k∈N*)时,ak$>\frac{6k}{5k+6}$.
则当n=k+1时,则ak+1=ak+$\frac{1}{{k}^{2}}{a}_{k}^{2}$>$\frac{6k}{5k+6}$+$\frac{1}{{k}^{2}}$×$(\frac{6k}{5k+6})^{2}$=$\frac{6×(5{k}^{2}+6k+6)}{(5k+6)^{2}}$,
∵(5k+11)(5k2+6k+6)-(5k+6)2(k+1)=30>0,
∴$\frac{6×(5{k}^{2}+6k+6)}{(5k+6)^{2}}$>$\frac{6(k+1)}{5(k+1)+6}$,
∴ak+1>$\frac{6(k+1)}{5(k+1)+6}$,
即当n=k+1时,不等式成立.
综上可得:当n≥3(n∈N*)时,an>$\frac{6n}{5n+6}$.

点评 本题考查了数列递推式的应用、数学归纳法、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网