Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，右顶点为A，点M（a，b）满足MF₂平分∠F₁MA那么椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设椭圆的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），A（a，0），M（a，b），由MF₂平分∠F₁MA，则$\frac{|{F}_{1}{F}_{2}|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{|M{F}_{1}|}{|MA|}$，得到a，b，c的方程，化简整理再由离心率公式，计算即可得到结论．

解答 解：设椭圆的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
A（a，0），M（a，b），
由MF₂平分∠F₁MA，则$\frac{|{F}_{1}{F}_{2}|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{|M{F}_{1}|}{|MA|}$，
即为$\frac{2c}{a-c}$=$\frac{\sqrt{（a+c）^{2}+{b}^{2}}}{b}$，
即有4c²b²=（a²-c²）²+（a-c）²b²，
即4c²=（a²-c²）+（a-c）²，
即有2c²+ac-a²=0，
由离心率e=$\frac{c}{a}$，可得
2e²+e-1=0，
解得e=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率的求法，注意运用角平分线的性质定理和方程的思想时解题的关键．