题目内容
5.求下列函数的最大值和最小值,以及使函数取得这些值的自变量x的值.(1)y=$\frac{1}{1+co{s}^{2}x}$;
(2)y=$\frac{1}{5si{n}^{2}x+1}$;
(3)y=2-(sinx+1)2.
分析 分别根据三角函数的有界性进行求解即可.
解答 解:(1)∵-1≤cosx≤1,
∴0≤cos2x≤1,
∴当cos2x=0时,即x=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z时,函数y=$\frac{1}{1+co{s}^{2}x}$取得最大值此时y=1;
当cos2x=1时,即x=kπ,k∈Z时,函数y=$\frac{1}{1+co{s}^{2}x}$取得最小值此时y=$\frac{1}{2}$;
(2)∵-1≤sinx≤1,
∴0≤sin2x≤1,
∴当sin2x=0时,即x=kπ,k∈Z时,函数y取得最大值此时y=1;
当sin2x=1时,即kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z时,函数y取得最小值此时y=$\frac{1}{5+1}$=$\frac{1}{6}$.即x=kπ,k∈Z时,函数y=$\frac{1}{1+co{s}^{2}x}$取得最小值此时y=$\frac{1}{2}$;
(3)∵-1≤sinx≤1,
∴当sinx=-1,即x=2kπ-$\frac{π}{2}$,k∈Z时,函数取得最大值此时y=2;
当sinx=1,即x=2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z时,函数取得最小值此时y=2-4=-2;
点评 本题主要考查函数的最值,利用三角函数的有界性是解决本题的关键.
练习册系列答案
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