题目内容
15.若双曲线x${\;}^{2}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(b>0)的一条渐近线与圆x${\;}^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}$=1至多有一个交点,则双曲线的离心率的取值范围是( )A. | (1,2] | B. | [2,+∞) | C. | (1,$\sqrt{3}$] | D. | [$\sqrt{3},+∞$) |
分析 由已知得圆心(0,$\sqrt{3}$)到渐近线y=bx的距离:d=$\frac{|0-\sqrt{3}|}{\sqrt{{b}^{2}+1}}$≥1,由此能求出双曲线的离心率的取值范围.
解答 解:圆x2+(y-$\sqrt{3}$)2=1的圆心(0,$\sqrt{3}$),半径r=1.
∵双曲线x${\;}^{2}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(b>0)的一条渐近线y=bx与圆x2+(y-$\sqrt{3}$)2=1至多有一个交点,
∴圆心(0,$\sqrt{3}$)到渐近线y=bx的距离:d=$\frac{|0-\sqrt{3}|}{\sqrt{{b}^{2}+1}}$≥1,化为b2≤2.
∴e2=1+b2≤3,
∵e>1,
∴1<e≤$\sqrt{3}$,
∴该双曲线的离心率的取值范围是(1,$\sqrt{3}$].
故选:C.
点评 本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法,是中档题,解题时要注意圆、双曲线的性质的简单运用.
练习册系列答案
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