Question

【题目】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，在Rt△ACD′中， = ．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E= = ．CO= ，CE= = = ，∴EO=CO﹣CE= ．
过点B作BF∥BO，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．
则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO= ．EF=BO= = ．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．
则D′F2= + ﹣2× cosθ= ﹣5cosθ≥ ，cosθ=1时取等号．∴D′B的最小值= =2．∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值= = = ．所以答案是： ．

【考点精析】掌握异面直线及其所成的角是解答本题的根本，需要知道异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．