Question

【题目】已知等比数列中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)记＝log2，求数列的前n项和.

Answer 1

【答案】(1)=2n;(2)2＋(n－1)·2n＋1.

【解析】

（1）设等比数列的公比，结合等差中项列式，最后解出公比即可求得通项；

（2）将数列的通项公式代入表达式，可求出，利用错位相减的方法求出.

(1)设数列{an}的公比为q，

由题意知：2(a3＋2)＝a2＋a4，

∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0.

∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n.

(2)bn＝n·2n，

∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.①

2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.②

①－②得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1

＝－2－(n－1)·2n＋1.

∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1.