Question

【题目】已知圆心在轴上的圆与直线切于点.圆： ．

（1）求圆的标准方程；

（2）已知，圆与轴相交于两点（点在点的右侧）．过点任作一条倾斜角不为0的直线与圆相交于两点．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）切点在直线上，故，从而求出过切点且垂直切线的直线，它与轴的交点就是圆心，半径是，从而求得圆的标准方程为.（2）先求出，若，则,即，用韦达定理把该方程转化为，联立用韦达定理把所得方程化简为，从而得到.

解析：（1）设圆心的坐标为，由点在直线上，知： ，则，又， ，则 ，故，所以，即半径. 故圆的标准方程为.

（2） 假设这样的存在，在圆中，令，得： ，解得： ，又由知，所以： .由题可知直线的倾斜角不为0，设直线： ， ， ，消元得.∵点在圆内部，∴有恒成立，又 .因为，所以,即，也即是，整理得，从而，化简有，因为对任意的都要成立，所以，由此可得假设成立，存在满足条件的，且.