Question

【题目】如图，四面体中，分别是的中点，

（1）求证：平面;

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）连结，则为的中位线，故，所以 平面.（2）由题设，有，结合有，而，故平面，我们可以建立空间直角坐标系，计算与平面法向量的夹角的余弦值，也可以通过等积法计算到平面的距离，从而得到线面角的正弦值.

解析：（1）证明：连结，因为分别是的中点，所以，又平面， 平面，所以平面.

（2）法一：连接，因为， ，所以，同理，又，而，所以，所以 ，又因为 ，所以 平面 .

以分别为轴，建立如图所示的直角坐标系，则 .设平面的法向量，由， 则有，令，得 .又因为,所以，故直线与平面所成角的正弦值为： .

法二：设到平面的距离为，由,有，得 ，故直线与平面所成角的正弦值为：