Question

17．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，侧棱C₁C⊥平面ABC，AC=BC=CC₁=2，B₁C与BC₁相交于点O，连结AB₁，AC₁．
（1）求证：平面ABC₁⊥平面B₁AC．
（2）求四面体B₁-ABC₁的体积；
（3）求二面角B₁-AB-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明：BC₁⊥平面B₁AC，即可证明平面ABC₁⊥平面B₁AC．
（2）利用${V}_{{B}_{1}-AB{C}_{1}}$=${V}_{A-B{B}_{1}{C}_{1}}$，即可求四面体B₁-ABC₁的体积；
（3）分别取AB，A₁B₁的中点D，E，连接DE，EC，则DE⊥AB，C₁D⊥AB，∠EDC₁是二面角B₁-AB-C₁的平面角，即可求二面角B₁-AB-C₁的余弦值．

解答 （1）证明：∵四边形BCC₁B₁为正方形，
∴BC₁⊥B₁C，
∵C₁C⊥平面ABC，
∴AC⊥C₁C，
∵AC⊥BC，CC∩BC=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁，
∵B₁C∩AC=C，
∴BC₁⊥平面B₁AC，
∴BC₁?平面ABC₁，
∴平面ABC₁⊥平面B₁AC．
（2）解：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，${S}_{△B{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}B{B}_{1}•{B}_{1}{C}_{1}$=2，
A到平面BB₁C₁的距离AC=2，
∴${V}_{{B}_{1}-AB{C}_{1}}$=${V}_{A-B{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×2×2$=$\frac{4}{3}$；
（3）解：△ABC₁是边长为2$\sqrt{2}$的等边三角形，分别取AB，A₁B₁的中点D，E，连接DE，EC，则DE⊥AB，C₁D⊥AB，
∴∠EDC₁是二面角B₁-AB-C₁的平面角，
∵DE=BB₁=2，C₁D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{6}$，DE⊥EC₁，
∴cos∠EDC₁=$\frac{DE}{{C}_{1}D}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查四面体B₁-ABC₁的体积，二面角B₁-AB-C₁的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．