Question

9．如图，己知L、K分别是△ABC的边AB、AC的中点．△ABC的内切圆⊙l分别与边BC、CA切于点D、E．求证：KL、DE的交点在∠ABC的角平分线上．

Answer 1

分析 设KL与∠ABC的角平分线交于点S，DE与∠ABC的角平分线交于点T，进而证明出S，T重合，利用同一法，可得KL、DE的交点在∠ABC的角平分线上．

解答 证明：如图所示：设KL与∠ABC的角平分线交于点S，
∵L、K分别是△ABC的边AB、AC的中点．
∴LK∥BC，
∴∠LSB=∠CBS=∠LBS，
∴LB=LS，
又∵LA=LS，
∴S在以AB为直径的圆上，
∴∠ASB=90°，
设DE与∠ABC的角平分线交于点T，
则△ABC的内心I在点B，T之间，
当AB≠BC时，T≠E，且∠DEC=90°-$\frac{1}{2}$∠C，∠AIB=90°+$\frac{1}{2}$∠C，
如果T在线面DE内部，有∠AIT+∠AET=180°，
∴A，I，T，E四点共圆，
如果I和E在AT的同侧，则有∠AIT=90°，$\frac{1}{2}$∠C=∠AET，
也有A，I，T，E四点共圆，
∵∠AEI=90°，
∴∠AIT=90°，
∵∠ASB=∠ATB，
则S和T重合，
即KL、DE的交点在∠ABC的角平分线上．

点评 本题考查的知识点是圆的切线的性质定理，同一法证明，圆内接四边形的判定与性质，难度较大．