Question

8．用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，如图，求出AB的方程、BC的方程，在边CA上任取一点P（m，0），-a≤m≤a，求出P到AB的距离PE，P到CB的距离为PF的值，再求出A到BC的距离为 h，可得PE+PF=h，命题得证．

解答 证明：设等腰三角形为ABC，以CA所在的直线为x轴，以CA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
设A（a，0）、C（-a，0）、B（0，b），a＞0，b＞0．
则AB的方程为bx+ay-ab=0，BC的方程为bx-ay+ab=0，在边CA上任取一点P（m，0），-a≤m≤a，
则P到AB的距离PE=$\frac{b（a-m）}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，P到CB的距离为PF=$\frac{b（a+m）}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．
故PE+PF=$\frac{b（a-m）}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$+$\frac{b（a+m）}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．
而A到BC的距离为h=$\frac{2ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．
故PE+PF=h，即等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

点评 本题主要考查用坐标法证明数学命题，用截距式求直线的方程，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．