Question

5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，E，F分别是CC₁，BC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅱ）求锐二面角B₁-AE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明AF⊥B₁F，B₁F⊥EF，然后证明B₁F⊥平面AEF；
（2）过F作FM⊥AE，连结B₁M，说明∠B₁MF就是二面角B₁-AE-F的平面角，然后通过解三角形求出所求角的大小．

解答 （1）证明：由条件知AF⊥平面CCBB₁，
令AC=1∴AF⊥B₁F，
经计算得${B_1}F=\frac{{\sqrt{6}}}{2}，EF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，{B_1}E=\frac{3}{2}$，
∴${B_1}{E^2}={B_1}{F^2}+E{F^2}$，即B₁F⊥EF，又因为EF∩AF=F，
∴B₁F⊥平面AEF；
（2）过F作FM⊥AE，连结B₁M，
由已知得EA⊥MF，EA⊥B₁F，
∴EA⊥平面B₁MF
∴EA⊥B₁M，
∴∠B₁MF就是二面角B₁-AE-F的平面角
经计算得$MF=\frac{{\sqrt{30}}}{10}，{B_1}M=\frac{3}{5}\sqrt{5}$，
$cos∠{B_1}MF=\frac{MF}{{{B_1}M}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

点评 本题考查直线与平面所成角的大小的求法，考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力．