Question

6．设a＞0，b＞0，若$\sqrt{3}$是9^3a与3^b的等比中项，则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 13+$4\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． $\frac{13}{2}+2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由$\sqrt{3}$是9^3a与3^b的等比中项，可得9^3a•3^b=$（\sqrt{3}）^{2}$，化为6a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{3}$是9^3a与3^b的等比中项，
∴9^3a•3^b=$（\sqrt{3}）^{2}$，
∴6a+b=1．
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=（6a+b）$（\frac{2}{a}+\frac{1}{b}）$=13+$\frac{2b}{a}$+$\frac{6a}{b}$≥13+2×$2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{3a}{b}}$=13+4$\sqrt{3}$，当且仅当b=$\sqrt{3}$a=$\frac{2\sqrt{3}-1}{11}$时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．