题目内容
6.设a>0,b>0,若$\sqrt{3}$是93a与3b的等比中项,则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为( )A. | 1 | B. | 13+$4\sqrt{3}$ | C. | 2$\sqrt{3}$ | D. | $\frac{13}{2}+2\sqrt{3}$ |
分析 由$\sqrt{3}$是93a与3b的等比中项,可得93a•3b=$(\sqrt{3})^{2}$,化为6a+b=1.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
解答 解:∵$\sqrt{3}$是93a与3b的等比中项,
∴93a•3b=$(\sqrt{3})^{2}$,
∴6a+b=1.
∵a>0,b>0,
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$=(6a+b)$(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})$=13+$\frac{2b}{a}$+$\frac{6a}{b}$≥13+2×$2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{3a}{b}}$=13+4$\sqrt{3}$,当且仅当b=$\sqrt{3}$a=$\frac{2\sqrt{3}-1}{11}$时取等号.
故选:B.
点评 本题考查了等比数列的性质、“乘1法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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