题目内容
11．已知数列{an}满足an+1=2an+3×2n，a1=2，求数列{an}的通项公式．分析 通过将等式an+1=2an+3•2n两边同时除以2n+1、化简可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项、$\frac{3}{2}$为公差的等差数列，进而计算可得结论．
解答 解：∵an+1=2an+3•2n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+3•{2}^{n}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+$\frac{3}{2}$，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=$\frac{2}{2}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项、$\frac{3}{2}$为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$，
∴an=（$\frac{3}{2}$n-$\frac{1}{2}$）•2n=（3n-1）•2n-1，
∴数列{an}的通项公式an=（3n-1）•2n-1．
点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
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