Question

16．已知函数f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}+1}$+a（a∈R）为奇函数
（1）求a的值；
（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）是奇函数，得到f（0）=0，即可求a的值；
（2）当0≤x≤1时，化简方程f（x）+1=t，即可得到结论．，

解答 解：（1）∵函数f（x）的定义域为（-∞，+∞），
∴若f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}+1}$+a（a∈R）为奇函数，
则f（0）=0，
即f（0）=$\frac{2}{1+1}$+a=1+a=0，
解得a=-1；
（2）∵a=-1，
∴f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}+1}$-1，
若当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，
即$\frac{2}{{3}^{x}+1}$-1+1=$\frac{2}{{3}^{x}+1}$=t，
即t=$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，
当0≤x≤1时，1≤3^x≤3，
则2≤1+3^x≤4，
$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{{3}^{x}+1}$≤$\frac{1}{2}$，
即$\frac{1}{2}$≤$\frac{2}{{3}^{x}+1}$≤1
即实数t的取值范围是$\frac{1}{2}$≤t≤1．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及方程解的应用，利用f（0）=0是解决本题的关键．