Question

【题目】如图，平面平面，四边形为矩形， ．为的中点， ．

（1）求证： ；

（2）若时，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明过程详见解析；（2）．

【解析】试题（1）连结，则，从而得到，进而得到，由此能证明；（2）由（1）得．不妨设， ，取的中点为，建立坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用向量的夹角公式，利用向量法即可.试题解析：（1）证明：连结，因， 是的中点，故．

又因平面平面，故平面，

于是．又，所以平面，

所以，又因，故平面，

所以．

（2）由（1），得，不妨设，则，取的中点，以为原点, 所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则

从而.

设平面的法向量，由，得，

同理可求得平面的法向量，设的夹角为，则，

由于二面角为钝二面角，则余弦值为.