Question

【题目】在正三棱锥中，是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

试题根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC⊥SB，结合SB⊥AM，得到SB⊥平面SAC，因此可得SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC的外接球的表面积．

取AC中点，连接BN、SN，∵N为AC中点，SA=SC，∴AC⊥SN，

同理AC⊥BN，∵SN∩BN=N，∴AC⊥平面SBN，

∵SB平面SBN，∴AC⊥SB，∵SB⊥AM且AC∩AM=A，

∴SB⊥平面SACSB⊥SA且SB⊥AC，

∵三棱锥S-ABC是正三棱锥，

∴SA、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．

∵底面边长∴侧棱SA=2，

∴正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：，

∴正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是，故选B．