Question

12．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，长轴端点A与短轴端点B间的距离为$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）P为椭圆C上一动点，求△PAB的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，利用a²=b²+c²，计算即得结论；
（Ⅱ）只需求出位于直线AB下方且与椭圆相切的直线l的方程，利用两点间距离公式、三角形面积公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
又a²=b²+c²，解得a²=4，b²=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）∵k_AB=$\frac{1-0}{0-2}$=-$\frac{1}{2}$，直线AB方程为：y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∴可设与AB平行的直线l为：y=-$\frac{1}{2}$x+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：x²-2bx+2b²-2=0，
令△=（-2b）²-4（2b²-2）=0，解得：b=±$\sqrt{2}$，
显然当b=-$\sqrt{2}$时，直线l与椭圆的交点P与A、B组成的三角形的面积最大，
由已知|AB|=$\sqrt{5}$，
△PAB中AB边上的高d=$\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{5}}$，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•$\frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{2}+1$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．