题目内容
【题目】平面直角坐标系中,椭圆C:
的离心率是
,抛物线E:
的焦点F是C的一个顶点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
(ⅰ)求证:点M在定直线上;
(ⅱ)直线与y轴交于点G,记△
的面积为
,△
的面积为
,求
的最大值及取得最大值时点P的坐标.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
的最大值为
,此时点
的坐标为
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据椭圆的离心率和焦点求方程;(Ⅱ)(Ⅰ)由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立,进而判断点M在定直线上;(Ⅱ)分别列出,
面积的表达式,根据二次函数求最值和此时点P的坐标.
试题解析:
(Ⅰ)由题意知,可得:
.
因为抛物线的焦点为
,所以
,
所以椭圆C的方程为.
(Ⅱ)(Ⅰ)设,由
可得
,
所以直线的斜率为
,
因此直线的方程为
,即
.
设,联立方程
得,
由,得
且
,
因此,
将其代入得
,
因为,所以直线
方程为
.
联立方程,得点
的纵坐标为
,
即点在定直线
上.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线方程为
,
令得
,所以
,
又,
所以,
,
所以,
令,则
,
当,即
时,
取得最大值
,此时
,满足
,
所以点的坐标为
,因此
的最大值为
,此时点
的坐标为
.
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