题目内容
【题目】设是椭圆
的四个顶点,菱形
的面积与其内切圆面积分别为
,
.椭圆
的内接
的重心(三条中线的交点)为坐标原点
.
(1)求椭圆的方程;
(2) 的面积是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:
(I)由内切圆面积得半径,即为原点到直线PQ的距离,可得,又四边形PQRS的面积为
,从而可得
,解得
得椭圆方程;
(II)可先求特殊情形下的三角形面积,即斜率不存在时,C为椭圆的左(右)顶点,求得面积为
;当
斜率存在时,设方程为
,代入椭圆方程,并设
,由韦达定理得
,利用O是
的重心,得
表示出C点坐标,把C点坐标代入椭圆方程求得
的关系式为
,由圆锥曲线中的弦长公式求得弦长
,求出C点到直线AB的距离,从而得三角形ABC的面积,代入刚才的关系式可得
,因此结论为存在.
试题解析:
(Ⅰ)∵菱形的面积与其内切圆面积分别为
,
∴,
,
联立解得,
,
故所求椭圆的方程为
.
(Ⅱ)当直线斜率不存在时,
∵为
的重心,∴
为椭圆的左、右顶点,不妨设
,
则直线的方程为
,可得
,
到直线
的距离
,
∴.
当直线的斜率存在时,设直线
方程为:
,
,
.
联立,得
,
则
.
即,
,
,
∴.
∵为
的重心,∴
,
∵点在椭圆
上,故有
,
化简得.
∴
.
又点到直线
的距离
(
是原点到
距离的3倍得到).
∴
.
综上可得, 的面积为定值
.

【题目】某港口的水深(米)是时间
(
,单位:小时)的函数,下面是每天时间与水深的关系表:
经过长期观测,可近似的看成是函数
(1)根据以上数据,求出的解析式;
(2)若船舶航行时,水深至少要米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港?
【题目】(题文)某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验,准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨,其实验数据统计如下:
方式 | 实施地点 | 大雨 | 中雨 | 小雨 | 模拟实验总次数 |
A | 甲 | 4次 | 6次 | 2次 | 12次 |
B | 乙 | 3次 | 6次 | 3次 | 12次 |
C | 丙 | 2次 | 2次 | 8次 | 12次 |
假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响,请你根据人工降雨模拟实验的统计数据:
(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率;
(2)考虑到旱情和水土流失,如果甲地恰需中雨即达到理想状态,乙地必须是大雨才达到理想状态,丙地只要是小雨或中雨即达到理想状态,记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和均值E(ξ).