题目内容
【题目】设函数y＝f（x）的定义域为R，并且满足f（x+y）＝f（x）+f（y），f（
）＝1，当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x的取值范围．
【答案】（1）0（2）奇函数 （3）
【解析】
1）函数y＝f（x）的定义域为R，赋值令x＝y＝0，则可求f（0）的值；
（2）令y＝﹣x，结合f（0）的值，可得结论；
（3）利用单调性的定义，结合足f（x+y）＝f（x）+f（y），可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．
（1）∵函数y＝f（x）的定义域为R，
令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0；
（2）令y＝﹣x，得 f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）是R上的奇函数；
（3）f（x）是R上的增函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0
∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）＞0
∴f（x1）＜f（x2）
故f（x）是R上的增函数．
由f（
）＝1，
∴f（
）＝f（
）＝f（）+f（）＝2
那么f（x）+f（2+x）＜2，可得f（2+2x）＜f（）
∵f（x）是R上的增函数．
∴2+2x
，
解得：x
，
故得x的取值范围是（﹣∞，
）.
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