题目内容
【题目】已知函数f（x）=bx﹣axlnx（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线平y=（1﹣a）x行．
（1）若函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，求实数a的最小值；
（2）设g（x）= 
，若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤ 
成立，求实数a的取值范围．
【答案】
（1）解：f′（x）=b﹣a﹣alnx，
∴f′（1）=b﹣a，
∴b﹣a=1﹣a，b=1，
∴f（x）=x﹣axlnx，
函数y=f（x）在[e，2e]上是减函数，
∴f′（x）=1﹣a﹣alnx≤0在[e，2e]上恒成立，
即a≥ 
在[e，2e]上恒成立，
∵h（x）= 在[e，2e]上递减，
∴h（x）的最大值是 
，
∴实数a的最小值是
（2）解：∵g（x）= 
= 
﹣ax，
∴g′（x）= 
=﹣ 
+ 
﹣a，
故当 
= 即x=e2时，g′（x）max= ﹣a，
若存在x1∈[e，e2]，使g（x1）≤ 成立，
等价于x1∈[e，e2]时，有g（x）min≤ 成立，
当a≥ 时，g（x）在[e，e2]上递减，
∴g（x）min=g（e2）= 
﹣ae2≤ ，故a≥ ﹣ 
，
当0＜a＜ 时，由于g′（x）在[e，2e]上递增，
故g′（x）的值域是[﹣a， ﹣a]，
由g′（x）的单调性和值域知：
存在x0∈[e，e2]，使g′（x）=0，且满足：
x∈[e，x0），g′（x）＜0，g（x）递减，x∈（x0，e2]，g′（x）＞0，g（x）递增，
∴g（x）min=g（x0）= 
≤ ，x0∈（e，e2），
∴a≥ 
﹣ 
＞ 
﹣ 
＞ ，与0＜a＜ 矛盾，不合题意，
综上：a≥ ﹣
【解析】（1）求出函数的导数，得到b﹣a=1﹣a，解出b，求出函数的解析式，问题转化为a≥ 在[e，2e]上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题等价于x1∈[e，e2]时，有g（x）min≤ 成立，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的具体范围即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减．
