题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间和极值;
(2)若在上是单调增函数,求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间是、单调递增区间是,极小值是1.没有极大值.(2)
【解析】
(1)函数的定义域为,
当时,,由此利用导数性质能求出函数的单调区间和极值.
(2)由得,令,则,由此利用导数性质能求出的取值范围.
解:(1)易知,函数的定义域为,
当时,.
当变化时,和的值的变化情况如下表:
1 | |||
- | 0 | + | |
递减 | 极小值 | 递增 |
由上表可知,
函数的单调递减区间是、单调递增区间是,极小值是,没有极大值.
(2)由,得.
若函数在上的单调增函数,则在上恒成立,
即不等式在上恒成立.
也即在上恒成立.
令,则.
当时,,在上为减函数,
∴.
所以,
∴的取值范围为.
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