题目内容
【题目】已知椭圆,过点
作椭圆C的切线l,在第一象限的切点为P,过点P作与直线l倾斜角互补的直线,恰好经过椭圆C的下顶点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)F为椭圆C的右焦点,过点F且与x轴不垂直的直线交椭圆C于A,B两点,点A关于x轴的对称点为
,则直线
是否过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
【答案】(1)(2)
过定点
.
【解析】
(1)设出直线l的方程,联立直线与椭圆方程,利用相切得到根的判别式为0,进而得到切点坐标,再根据两直线倾斜角之间的关系,得到b的值,从而得椭圆C的方程;(2)设出直线的方程,联立直线与椭圆方程,设出
,
,可得
,
及
坐标,写出直线
的方程,化简,根据方程的特点,即得
过定点
.
解:(1)由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为,与椭圆方程联立,得
,化简整理得
,(*)
,得
,
所以方程(*)可化为,可得切点
.
,由已知
,
所以,即
,得
,
所以椭圆C的方程为.
(2)由(1)知,
设直线的方程为
,与椭圆方程联立,得
,化简整理得
,
设,
,则
,
.
由,可得
,则
的方程为
,
即
,
所以当时,
,即
过定点
.
拓展结论:
圆上点
处的切线方程为
,而若点
在圆外,则直线方程
的几何含义是过点
所作圆的两条切线的切点连线的方程;由此类比:椭圆
上点
处的切线方程为
,而若点
在椭圆外,则方程
的几何含义是过点
所作椭圆的两条切线的切点连线的方程;抛物线
上点
处的切线方程为
,而若点
在抛物线外,则直线方程
的几何含义是过点
所作抛物线的两条切线的切点连线的方程.

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