题目内容

【题目】在四棱锥PABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且有ABDCACCDDAAB.

1)证明:BCPA

2)若PAPCAC,求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.

【答案】1)证明见解析;(2

【解析】

1)设AB2a,则ACCDDAa,推导出,由余弦定理得BC,由勾股定理得BCAC,从而BC⊥平面PAC,由此能证明BCPA.

2)设AC2,取AC中点O,连结PO,则POACPO,推导出PO⊥平面ABCD,以C为原点,CAx轴,CBy轴,过C作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.

1)证明:设AB2a,则ACCDDAa

∵△ACD是等边三角形,∴

ABDC,∴

由余弦定理得:

3a2,∴BC

BC2+AC2AB2,∴,∴BCAC

∵平面PAC∩平面ABCDACBC平面ABCD

BC⊥平面PAC

PA平面PAC,∴BCPA.

2)解:设AC2,取AC中点O,连结PO,则POACPO

∵平面PAC⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD

C为原点,CAx轴,CBy轴,过C作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,如图,

C000),B020),P10),A200),D10),

10),10),10),020),

设平面PAD的法向量xyz),

,取z1,得),

设平面PBC的法向量abc),

,取a,得),

设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角为θ.

cosθ.

∴平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为.

练习册系列答案
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【题目】20183月份,上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》,4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划(2018-2020年)》,提出到2020年底,基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖,居民区普遍推行生活垃圾分类制度.为加强社区居民的垃圾分类意识,推动社区垃圾分类正确投放,某社区在健身广场举办了垃圾分类,从我做起生活垃圾分类大型宣传活动,号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量,为此需要征集一部分垃圾分类志愿者.

1)为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关,现随机选取了一部分社区居民进行调查,其中被调查的男性居民和女性居民人数相同,男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的,女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的,若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下,认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关,则被调查的女性居民至少多少人?

0.100

0.050

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

2)某垃圾站的日垃圾分拣量(千克)与垃圾分类志愿者人数(人)满足回归直线方程,数据统计如下:

志愿者人数(人)

2

3

4

5

6

日垃圾分拣量(千克)

25

30

40

45

已知,根据所给数据求和回归直线方程,附:

3)用(2)中所求的线性回归方程得到与对应的日垃圾分拣量的估计值.当分拣数据与估计值满足时,则将分拣数据称为一个正常数据.现从5个分拣数据中任取3个,记表示取得正常数据的个数,求的分布列和数学期望.

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