Question

20．已知sinθ＜0，tanθ＞0．
（1）求θ角的集合；
（2）求$\frac{θ}{2}$终边所在象限；
（3）试判断sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$tan$\frac{θ}{2}$的符号．

Answer 1

分析 （1）由已知可得θ为第三象限角，即解得θ角的集合．
（2）由（1）可得：$\frac{θ}{2}$∈（kπ+$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z，分k是偶数，奇数时，讨论即可得解．
（3）利用条件判断角的范围，然后判断sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$tan$\frac{θ}{2}$的符号．

解答 解：（1）∵sinθ＜0，
∴θ为第三、四象限角或在y轴的负半轴上，
∵tanθ＞0，
∴θ为第一、三象限角，
∴θ为第三象限角，即θ角的集合为：{θ|2kπ+π，2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z}．
（2）由（1）可得：$\frac{θ}{2}$∈（kπ+$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z，
当k是偶数时，$\frac{θ}{2}$在第二象限，
当 k是奇数时，$\frac{θ}{2}$在第四象限，
（3）∵$\frac{θ}{2}$∈（kπ+$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），
∴当k是偶数时，$\frac{θ}{2}$在第二象限，
则tan$\frac{θ}{2}$＜0，sin$\frac{θ}{2}$＞0，cos$\frac{θ}{2}$＜0．可得：sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$tan$\frac{θ}{2}$＞0，
当 k是奇数时，$\frac{θ}{2}$在第四象限，
则tan$\frac{θ}{2}$＜0，sin$\frac{θ}{2}$＜0，cos$\frac{θ}{2}$＞0．可得：sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$tan$\frac{θ}{2}$＞0，
综上，sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$tan$\frac{θ}{2}$＞0．

点评 本题主要考查了三角函数值的符合和象限角的问题．考查了基础知识的灵活运用，属于中档题．