Question

12．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：3x-4y+a=0与圆C：x²+y²=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数a=±5．

Answer 1

分析 把直线与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x_A+x_B，然后利用直线方程求得y_A+y_B的表达式，进而可求得AB的中点的坐标，同时利用向量的平行四边形法则可求得$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OC}$，进而可求得M的坐标代入圆的方程求得a．

解答 解：直线l：3x-4y+a=0与圆x²+y²=4相交于A，B两点
联立两方程得：25x²+6ax+a²-64=0
∴x_A+x_B=-$\frac{6a}{25}$，y_A+y_B=kx_A+1+kx_B+1=$\frac{8a}{25}$
所以AB中点C的坐标为（-$\frac{3a}{25}$，$\frac{4a}{25}$）
利用向量的平行四边形法则可求得$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OC}$
说明M点的坐标为AB中点的两倍，M（-$\frac{6a}{25}$，$\frac{8a}{25}$）
M点在圆上，代入方程化简得：$\frac{36+64}{625}$a²=4
所以a=±5
故答案为：±5．

点评 本题主要考查了直线与圆相交的性质，平面向量的基本性质．考查了学生数形结合思想的应用和基本运算的能力．